| 焦点位置 | 在 $x$ 轴上 | 在 $y$ 轴上 |
| 标准方程 | $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > b > 0}\right)$ | $\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{x}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > b > 0}\right)$ |
| 图形 |  |  |
| 焦点 | ${F}_{1}\left( {-c,0}\right) \text{、}{F}_{2}\left( {c,0}\right)$ | ${F}_{1}\left( {0, - c}\right) \text{、}{F}_{2}\left( {0, c}\right)$ |
| 顶点 | ${A}_{1}\left( {-a,0}\right) \text{、}{A}_{2}\left( {a,0}\right)$ 、 ${B}_{1}\left( {0, - b}\right) \text{、}{B}_{2}\left( {0, b}\right)$ | ${A}_{1}\left( {-b,0}\right) \text{、}{A}_{2}\left( {b,0}\right)$ 、 ${B}_{1}\left( {0, - a}\right) \text{、}{B}_{2}\left( {0, a}\right)$ |
| 轴 | 长轴 ${A}_{1}{A}_{2}$ ,短轴 ${B}_{1}{B}_{2}$ | 长轴 ${A}_{1}{A}_{2}$ ,短轴 ${B}_{1}{B}_{2}$ |
| 范围 | $- a \leq x \leq a, - b \leq y \leq b$ | $- a \leq y \leq a, - b \leq x \leq b$ |
| 离心率 | $e = \frac{c}{a},0 < e < 1$ | $e = \frac{c}{a},0 < e < 1$ |
| 准线 | ${l}_{1} : x = - \frac{{a}^{2}}{c},{l}_{2} : x = \frac{{a}^{2}}{c}$ | ${l}_{1} : y = - \frac{{a}^{2}}{c},{l}_{2} : y = \frac{{a}^{2}}{c}$ |
本节共 5 道例题, 前 3 道题是基本题, 主要是帮助概念的理解, 难度不大.
例 1 是完全按照椭圆的定义条件求椭圆的标准方程. 要注意两点: 其一, 题目已知条件是 ${2a}$ 与 ${2c}$ ,要用 ${a}^{2} - {c}^{2} = {b}^{2}$ 求出 $b$ ; 其二,题目没有限定焦点在哪条坐标轴上, 所以要考虑两种情况, 得到两个标准方程.
例 2 是用待定系数法求椭圆的标准方程. 先写出椭圆的标准方程,系数 $a$ 和 $b$ 待定,据椭圆的焦距和椭圆上一个已知点这两个条件,列出两个方程,求出系数 $a$ 和 $b$ .
例 3 的目的是让学生从椭圆的方程求出椭圆的重要几何量. 先将椭圆方程化为标准方程,求出长半轴 $a$ 与短半轴 $b$ ,再从 $a$ 和 $b$ 得到其他所要求的几何量.
例 4 是椭圆的应用问题, 注意科学问题到数学问题的近似化和语言转换. 在地球卫星轨道尺度下讨论问题, 卫星可以近似看成一个点; 地球不能看成一个点, 而是近似地看成一个球, 所以可以谈它的中心和半径. 在椭圆焦点上的不是地球, 而是地球的中心; 题目虽已明确说明近地点、远地点是椭圆长轴的两个端点, 但从这两个点到焦点的距离应该是这两个点到地球表面的距离再加上地球的半径. 另外, 椭圆的中心到焦点的距离是半焦距. 注意到这些量之间的关系, 教材解题过程的计算就顺理成章了.
例 5 讨论的是直线和椭圆的公共点个数, 用的是解析几何的通用方法, 解直线方程和椭圆方程的联立方程组. 把直线方程代入椭圆方程消去一个未知数后会得到一个一元二次方程, 根据此方程的判别式就确定了直线与椭圆有两个公共点、一个公共点或者没有公共点.
### 注意事项
1. 讲椭圆定义时,要关注定义中给定的常数要大于 $\left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right|$ (即条件 $a > c > 0$ ) 的约束. 为纠正学生对约束条件 “ ${2a} > \left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right|$ ” 的忽视,可让学生尝试对 “ ${2a} = \left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right|$ ” “ ${2a} < \left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right|$ ”分别作图,以体验条件 “ ${2a} > \left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right|$ ”的必要性. 若常数等于 $\left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right|$ , 则点 $M$ 的轨迹是线段 ${F}_{1}{F}_{2}$ ; 若常数小于 $\left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right|$ ,则轨迹不存在.
常量 $b$ 的引进是很巧妙的一招. 一方面有可能性,即由 $a > c > 0$ ,得知 ${a}^{2} - {c}^{2} >$ 0,所以可令 ${b}^{2} = {a}^{2} - {c}^{2} > 0\left( {b > 0}\right)$ ; 另一方面还要突出必要性,即使得到的方程的形式简洁美观(在第 1 小节就可以讲),且 $b$ 有明显的几何意义 (可在第 2 小节讲).
2. 应该强调,教材关于椭圆 (以及以后的双曲线与抛物线) 的教学,不是对坐标系中的任意位置的曲线的讨论(与前一节“圆”不一样),而是先根据曲线定义选择比较特殊的坐标系 (这等价于说, 只考虑坐标系中特殊位置的曲线). 坐标系的选择要尽量考虑曲线的对称性、关键要素表达的简洁性等. 这方面不是要塞给学生几条硬性的原则, 而是通过具体的例子(例如本节的椭圆), 给学生以启发. 还可以告诉学生, 坐标系的选择不是唯一的. 教材之所以能选择坐标系使得椭圆方程有极佳的表现形式, 有上述思想的体现, 也有前人经验的总结, 有时还可能由不同情境决定. 例如, 双曲线 ${x}^{2} - {y}^{2} = 1$ 在反比例函数的情境下由于坐标系选择的不同,表现为曲线 ${xy} = \frac{1}{2}$ (见本书第 73-74 页). 抛物线的研究和二次函数图像的研究由于情境不同, 坐标系选择不同, 方程也有不同的表现.
对于坐标平面上任意位置的椭圆 (以及双曲线、抛物线) 方程的研究, 不在本套教材范围内.
3. 方程③到方程⑤的化简过程可以有多种不同的方法. 教材介绍的是移项后方程两边平方的方法, 我们前面还提到不移项而直接把方程③两边平方的方法. 这两种方法都是经典的, 教材编写时经常采用.
在教学实践中教师还可以使用一些小诀窍, 另辟蹊径化简方程. 下面两个例子都是设法把方程化为一个根式等于一个有理式的形式, 再做两边平方进行化简:
(1)根据方程③, $a$ 是 $\sqrt{{\left( x + c\right) }^{2} + {y}^{2}}$ 与 $\sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}}$ 的等差中项,于是可设
$$
\sqrt{{\left( x + c\right) }^{2} + {y}^{2}} = a - d,\sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}} = a + d.
$$
两个方程各自两边平方, 再相减与相加, 分别得到
$$
d = - \frac{c}{a}x\text{ 与 }{x}^{2} + {y}^{2} + {c}^{2} = {a}^{2} + {d}^{2},
$$
把前式 $d$ 的表达式代入后式,整理后便得到方程④,进而推出方程⑤.
(2)把方程③两边同时乘 $\sqrt{{\left( x + c\right) }^{2} + {y}^{2}} - \sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}}$ ,整理得
$$
\sqrt{{\left( x + c\right) }^{2} + {y}^{2}} - \sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}} = \frac{2cx}{a},
$$
此方程与方程③两边相加, 化简得
$$
\sqrt{{\left( x + c\right) }^{2} + {y}^{2}} = a + \frac{cx}{a},
$$
再两边平方并整理也得到方程④.
4. 关于证明以方程⑤的解为坐标的点一定在椭圆上, 教材在说明了“椭圆上任意一点的坐标都是方程的解”后, 为避免累赘, 只用一句话“反过来, 可以证明以方程的解为坐标的点都在椭圆上”带过. 下面针对教材里的方程化简过程给出了“反过来”证明的关键点.
从推导过程我们已经知道方程③的解一定是方程⑤的解. 要证明以方程⑤的解为坐标的点一定在给定的椭圆上, 就是要证明方程⑤的解一定是方程③的解, 即证明方程③与方程⑤有相同的解集(也可以说方程③与方程⑤是同解方程,或者说从方程 ③变形到方程⑤的过程没有产生增根). 从方程理论知道, 方程的移项、合并同类项或同时乘(除以)非零常数都不会产生增根, 审视我们的变形过程, 可能产生增根的是两次的“方程两边同时平方”. 抽象地说,要排除从 $A = B$ 变形为 ${A}^{2} = {B}^{2}$ 过程中产生增根,就是要从 ${A}^{2} = {B}^{2}$ 能倒推回 $A = B$ . 显然,只要能保证 $A$ 与 $B$ 同时大于等于 0 (或同时小于等于 0)就可以了.
回到教材变形过程中两次“两边平方”前的方程, 它们分别是
$$
\sqrt{{\left( x + c\right) }^{2} + {y}^{2}} = {2a} - \sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}}
$$
与
$$
{a}^{2} - {cx} = a\sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}}.
$$
因此,我们要从方程⑤ (以及 ${a}^{2} - {c}^{2} = {b}^{2}, a > c > 0$ 的假设中) 推出
$$
{2a} - \sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}} \geq 0\text{ 与 }{a}^{2} - {cx} \geq 0.
$$
先证后一不等式. 当 $x \leq 0$ ,不等式 ${a}^{2} - {cx} \geq 0$ 当然成立; 从方程⑤推知 ${x}^{2} \leq {a}^{2}$ ,当 $x \geq 0$ 时,则有 $x \leq a$ ,于是 ${a}^{2} > {cx}$ . 所以不等式 ${a}^{2} - {cx} \geq 0$ 成立.
为证第一个不等式,首先注意不等式 ${a}^{2} + {cx} \geq 0$ 也成立,这可以仿照不等式 ${a}^{2} - {cx} \geq 0$ 的证明得到,也可以直接从方程⑤关于 $x$ 与 $- x$ 的对称性得到. 又从方程 ⑤得到 ${y}^{2} = {b}^{2} - \frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}{x}^{2}$ ,于是
$$
{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2} = {x}^{2} - {2cx} + {c}^{2} + {b}^{2} - \frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}{x}^{2} = \frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}{x}^{2} - {2cx} + {a}^{2} \leq 4{a}^{2},
$$
最后一个不等式依据是 $- {cx} \leq {a}^{2},\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}} < 1$ 与 ${x}^{2} < {a}^{2}$ . 这样,
$$
{2a} - \sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}} \geq {2a} - \sqrt{4{a}^{2}} = 0,
$$
正如所求.
有了这两个关键步骤的倒推, 教材中所说的将 “推理过程反过来推演即可” 也就不难了.
5. 离心率: 离心率的概念比较抽象, 学生此时还没有学习用准线和离心率给出椭圆的第二定义, 不容易理解离心率的几何意义, 可通过图形说明离心率的大小对椭圆形状的影响. 椭圆的形状千变万化, 在直观上有一个椭圆“扁平度”的概念. 椭圆定义中只有两个参数 $a$ 和 $c$ ,当然任意给定一组 $a\text{、}c\left( {a > c}\right)$ 的值,就对应一个唯一形状的椭圆. 让学生利用数学软件制作动画演示实验,观察 $a$ 和 $c$ 对椭圆 “扁平度” 的影响: $a$ 和 $c$ 都影响椭圆的“扁平度”,且互相关联着: 当 $a$ 不变时, $c$ 越大椭圆越扁, $c$ 越小椭圆越圆; 当 $c$ 不变时, $a$ 越大椭圆越圆, $a$ 越小椭圆越扁. 如何找到一个量,能够刻画不同尺寸下的椭圆的“扁平度”？即只要这个量相等,无论椭圆大小如何,它的 “扁平度”是一样的. 换言之, 这两个椭圆是相似的, 即可以通过放大或缩小其中一个椭圆,使两个椭圆重合. 很自然的想法是把两个量 $\left( {a\text{和}c}\right)$ 一个放在分母,一个放在分子, 使得原来反向影响“扁平度”的两个量变成同向影响“扁平度”的量, 这样就有了离心率 $e = \frac{c}{a}$ ,“扁平度”从一个直观感受的概念变成了可以度量的概念. 这样描述从直观到理性的推进过程虽然还比较粗糙, 但能够帮助学生克服认知障碍, 形成对离心率的感性和理性的认识.
数学史上离心率概念的提出与上段描述有着相同的逻辑. 天文学领域需要计算行星的运行轨道, 这些行星的运行轨道通常是圆扁程度不一的椭圆, 而离心率就是为了描述轨道圆扁程度而引入的一个量. 不仅如此, 天文学家还发现太阳系的八大行星都是在以太阳为焦点的椭圆形轨道上运行, 这些轨道偏离太阳的程度也不一样, 因此人们就把离心率称为 “偏心率”. 行星和太阳之间的距离是在变化的, 其中在近日点处离太阳最近,偏离距离为 $a - c$ ,在远日点处离太阳最远,偏离距离为 $a + c$ . 人们发现不能直接用最近距离和最远距离表示偏心率, 因为这两个值不仅和运行轨道的圆扁程度有关,还受轨道半径大小的影响,也就是说需要构造一个“稳定”的量来表示偏心率. 最后经过反复尝试,发现 $\frac{\left( {a + c}\right) - \left( {a - c}\right) }{\left( {a + c}\right) + \left( {a + c}\right) } = \frac{c}{a}$ 的值和椭圆大小无关,却能很好地刻画椭圆的圆扁程度,于是人们就选择了 $e = \frac{c}{a}$ 来表示离心率. 这样从数学发生发展的角度很好地解释了离心率的起源.
6. 从圆到椭圆: 前文提到在一个方向上“均匀压缩”一个圆可以得到椭圆, 但这个描述是粗糙的、非数学的, 这里作一些补充. “均匀压缩”(或者更一般地, “均匀伸缩”)可以和向量的数量倍数联系, 但我们只考虑如下简单的情况: 给定两个正常数 $a\text{、}b$ 分别作为 $x$ 轴、 $y$ 轴方向上的伸缩指数,把平面上的一个点 $\left( {x, y}\right)$ 对应到点 $(X$ , $Y) = \left( {{ax},{by}}\right)$ 就定义了平面上的一个“均匀伸缩”. 圆 ${x}^{2} + {y}^{2} = 1$ 的方程可以改写成 $\frac{{\left( ax\right) }^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{\left( by\right) }^{2}}{{b}^{2}} = 1$ ,即 $\frac{{X}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{Y}^{2}}{{b}^{2}} = 1$ ,可见圆经过了伸缩变换以后变成了一个椭圆.
这样从圆的方程推椭圆的方程虽然简单, 还揭示了圆与椭圆的联系, 但椭圆的几何性质难以从这个推导过程获得.
### 教学建议
本节是实质性学习圆锥曲线的第一节, 对于后续学习双曲线、抛物线等圆锥曲线有着重要的指导作用. 所以本节应当适当详讲, 让学生有较好的体验, 为后续内容的学习建立比较好的基础.
在椭圆的教学中,关注以下几个方面:
1. 情境引入:在生活与科学技术中,椭圆的例子并不少见,教材提供了天体运行轨迹、篮球在不垂直于地面的平行光照射下的在地面上的投影边界线和倾斜的水杯中的液面边界线等例子. 可以提前布置学生上网或在熟悉的生活、生产情境中找出自己的例子, 在课堂上交流.
学生对椭圆的定义是不熟悉的, 从几何实验角度引入椭圆定义是恰当的. 本节教材所给出的实验是经典的, 也是很容易实现的, 可由教师做演示, 但更好的方式是让学生自己做实验, 让学生自己准备一块纤维板或硬纸板, 两个图钉和一段无弹性的细绳即可. 让学生动手操作, 观察和分析教材所给的实验过程, 从中抽象概括出椭圆的定义, 并给出约束条件.
图形计算器或计算机的辅助也有益于学生的理解, 用适当的设备和软件, 通过输入参数画出椭圆图形, 加深学生的印象.
2. 方程的推导: 结合实验中画出的图形建立坐标系, 容易为学生所接受, 但也可鼓励学生通过对称性合理地建立直角坐标系. 接着,设椭圆上任意一点坐标为 $M(x$ , $y)$ ,椭圆的焦距为 ${2c}\left( {c > 0}\right)$ ,椭圆上任一点到两焦点距离的和为 ${2a}\left( {a > 0}\right)$ . 添加系数 2 可避免用分数形式表示焦点及长轴两端点的坐标, 使导出的椭圆方程形式简单. 再根据定义,写出适合条件的点 $M$ 的集合
$$
P = \left\{ {M\left| \right| M{F}_{1}\left| +\right| M{F}_{2}\left| { = {2a},{2a} > }\right| {F}_{1}{F}_{2} \mid }\right\} .
$$
这一步其实是可有可无的, 放在这里的目的是给学生用集合的语言表示几何轨迹的一个范例. 实质性的一步是把轨迹的条件用方程③给出. 方程③所给出的条件与椭圆定义所描述的条件是等价的, 根据 2.1 节中关于曲线方程的定义, 方程③就是所给定的椭圆的方程.
但方程③是一个无理方程, 形式复杂, 不对称, 难以记忆和使用, 我们要对其进行化简. 首先要让学生明确化简目标, 即消去方程中的根式, 并尽可能整理成简洁的有理方程. 要抓住“消去方程中的根式”这一关键问题,常用的方法是两边平方,过程虽较繁琐,耐心演算一般能解决问题. 可启发学生自己(或在教师引导下)来进行化简, 得出结论后再与教材对照.
除了直接的方程两边平方, 化简过程还可以使用一些小诀窍, 变出新的花样. 我们在“注意事项”之 3 中给出了两种方法. 但要注意, 尽管方程的化简过程比较繁琐, 但不是本节的核心内容, 教师不应该在这里就这个过程作变式教学, 选用一种化简方法就可以了.
3. 反向验证问题: 教材对反过来验证“以方程⑤的解为坐标的点一定在给定的椭圆上”没有过多着墨,只说“将上述推理过程反过来推演即可”. 建议这一段的教学中给出这一结论的细节论证,一方面由于椭圆是定义了“曲线方程”之后的第二个实例, 且第一个实例 (圆) 的两个方向验证都十分简单, 学生还不会有深刻的印象, “椭圆”接在“圆”之后,对加深学生对“曲线方程”的概念理解有比较大的帮助；另一方面,详讲 “椭圆”这一节后, 因双曲线与抛物线的内容与椭圆有很大的相似性, 学生可以触类旁通, 课堂上略讲就比较合理了. 针对教材所给的椭圆方程的化简过程, “注意事项”之 4 给出了反向证明的关键点.
请注意, 如果教师在方程推导时采用别的化简过程, 反向证明的关键点或许不一样, 但基本精神是一样的, 即找到可能产生增根的变形步骤, 排除增根.
在曲线方程的教学中,如何把握“反过来”方向的教学要求,以下两点供参考:其一, 学生要牢固建立曲线和方程的对应中两个方向验证的意识; 其二, 在题目或教师的要求下,学生能够进行反方向的证明或讲清反向证明的基本步骤和关键点,不至于手足无措.
4. 椭圆的性质问题: 对学生来说, 没有平面几何知识储备, 系统地利用方程来研究曲线的几何性质现在还是第一次. 本节中, 涉及的概念和公式较多, 大多直接从方程得出, 教学时要结合图形进行讲解, 让学生先从图形的感性认识出发, 了解每个概念、性质的几何意义,建立直观的几何形象,然后从椭圆的方程角度证明从图形的直观感知获得的结论.
在讲椭圆性质的同时, 可以适当拓展到用解析几何研究曲线性质的一些通法通则, 不求完整系统, 只针对椭圆情况用到的方法推广到一般方法即可. 例如, 讲椭圆的对称性时可以推广到任意曲线关于坐标轴、坐标原点的对称性的判定; 讲顶点时回顾一下曲线和直线公共点的求法.
解析法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的, 方程是建立在坐标系的基础上. 同一曲线由于坐标系选取不同, 方程的形式也不同, 得出的曲线性质也往往可以用坐标或方程的形式表达. 但要注意, 曲线的许多性质是内在的, 即与坐标系的选取无关. 教学时, 可以用尽可能简洁的语言向学生讲清图形的内在性质, 把内在性质与它们的坐标或方程表现形式区分开来.
例如, 从本节第 2 小节中至少可以看出椭圆的如下内在性质, 其表述只用到椭圆的定义条件,即椭圆是平面上到两个点 ${F}_{1}\text{、}{F}_{2}$ (称为焦点) 的距离之和等于常数 ${2a}\left( {{2a} > \left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right| = {2c}}\right)$ 的点的轨迹:(1)椭圆是中心对称图形,其对称中心是线段 ${F}_{1}{F}_{2}$ 的中点 $O$ ；(2)椭圆是轴对称图形,有两条对称轴,一条是线段 ${F}_{1}{F}_{2}$ 所在的直线,另一条是过点 $O$ 所作的 ${F}_{1}{F}_{2}$ 的垂线; (3)椭圆与两条对称轴的交点称为椭圆的顶点,它们分别是位于线段 ${F}_{1}{F}_{2}$ 所在的直线上的点 ${A}_{1}\text{、}{A}_{2}$ 和位于线段 ${F}_{1}{F}_{2}$ 垂直平分线上的点 ${B}_{1}\text{、}{B}_{2}$ ; (4) 线段 ${A}_{1}{A}_{2}$ 称为椭圆的长轴,其长度 $\left| {{A}_{1}{A}_{2}}\right| = {2a}$ ,线段 ${B}_{1}{B}_{2}$ 称为椭圆的短轴,其长度 $\left| {{B}_{1}{B}_{2}}\right| = {2b}$ ,其中 $b$ 是满足 ${a}^{2} - {c}^{2} = {b}^{2}$ 的正数; (5) 过四个顶点分别作对称轴的平行线,整个椭圆位于四条直线所围成的矩形中; (6) 比值 $e = \frac{c}{a}$ 称为椭圆的离心率,它满足 $0 < e < 1, e$ 越接近 1,椭圆越扁,而 $e$ 越接近 0,椭圆越接近圆.
5. 直线与椭圆的公共点: 关于直线与椭圆的公共点, 教材没有专门列为小节, 只用例 5 让学生有所体会. 教学中应以这个例题为抓手,引导学生回忆求直线与曲线 (甚至更一般的曲线与曲线) 公共点的通法通则, 即把直线和曲线的方程联立求解. 当然, 由于解方程技术上的限制, 我们只能处理一些比较简单的情况, 包括上一节的求直线与圆或圆与圆的公共点的问题以及例 5 的直线与椭圆的公共点问题. 例 5 的问题可以推而广之, 讨论直线与圆锥曲线的公共点问题, 因为把直线方程(二元一次方程) 代入到圆锥曲线方程(二元二次方程)消去一个未知数后,总会得到一个一元二次方程, 这是学生都能解的. 根据这个一元二次方程的判别式就确定了直线与椭圆有两个公共点、一个公共点或者没有公共点.
在讲完例 5 后简单介绍一下椭圆的切线. 关于椭圆切线的光学性质及其应用, 目前的课程标准中已不作要求, 只在边框中提及, 可以鼓励有兴趣的学生到图书馆或上网阅读相关资料. 要注意,平面几何中的“和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线”到这里的“和椭圆有且只有一个公共点的直线是椭圆的切线”,均没有触及切线本质属性的推广, 无法继续往前走了. 包括双曲线与抛物线在内的一般曲线的切线不再能用公共点个数来描述了, 所以后两节的教学中不应再涉及切线问题.
#### 2.3 双曲线
### 教学重点
让学生从演示实验中体验双曲线的形成过程, 并能抽象概括出双曲线的定义; 能在教材给定的平面直角坐标系中建立双曲线的标准方程. 借助标准方程研究双曲线的主要特殊点、重要参数和相关性质, 包括双曲线的实轴、虚轴、渐近线、焦点、顶点、焦距、离心率及其相互关系, 以及双曲线的对称性和取值范围.
让学生直观体会并能用代数语言描述双曲线与它的渐近线无限趋近但永不相交.
### 内容分析
本节的第 1 小节是双曲线标准方程的推导.
双曲线的引入从数学实验开始. 通过数学实验, 学生同时获得双曲线的感性和理性的认识:感性的认识是通过实验, 画出双曲线的图形, 有了双曲线的最初形象; 理性认识是通过作图的过程总结出了双曲线的定义.
有了双曲线定义后, 下一步是建立合适的平面直角坐标系, 建立方程并化简, 推出双曲线的标准方程. 与椭圆情况类似,两个定点 ${F}_{1}\text{、}{F}_{2}$ 称为双曲线的焦点,它们之间的距离 (记为 ${2c}$ ) 称为双曲线的焦距. 在推导过程中还要引进参数 $b$ ,它是满足 ${b}^{2} = {c}^{2} - {a}^{2}$ 的正数. 焦点放置在 $x$ 轴上或 $y$ 轴上,线段 ${F}_{1}{F}_{2}$ 的垂直平分线为另一条坐标轴,向量 $\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$ 的方向作为 $x$ 轴或 $y$ 轴的正向,分别得到双曲线的标准方程
$$
\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > 0, b > 0}\right)
$$
⑦
与
$$
\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{x}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > 0, b > 0}\right) .
$$
⑧
本节的第 2 小节讨论双曲线的性质.
以方程⑦为例,讨论双曲线的性质. 方程⑧所表示的双曲线的性质可类推.
双曲线对称性的讨论以及双曲线在直线 $x = a$ 与 $x = - a$ 所夹区域之外的讨论与椭圆情况类似, 不赘述.
双曲线的其他性质都与双曲线的渐近线相关.
渐近线其实是解析几何中讨论曲线性质的一个重要关注点, 但它的真正理解需要极限的概念, 学生的理解和掌握有一定的困难. 在圆锥曲线中, 只有双曲线有渐近线, 所以渐近线及其性质的教学成为双曲线性质这一小节的重点与难点.
先看双曲线的顶点与轴. 仿照椭圆的做法, 把双曲线与坐标轴的交点叫做双曲线的顶点,但与椭圆不一样的是,只能得到在 $x$ 轴上的两个顶点 ${A}_{1}\left( {-a,0}\right)$ 与 ${A}_{2}(a$ , $0)$ ; 双曲线与 $y$ 轴没有交点,因为在双曲线方程中令 $x = 0$ ,得到的方程 $- \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1$ 没有实数根. 但我们固执一下,仍把 $y$ 轴上的点 ${B}_{1}\left( {0, - b}\right)$ 与 ${B}_{2}\left( {0, b}\right)$ 在图上画出来 (可以看作虚拟的顶点,但教材没用这个术语),于是我们得到双曲线的两条轴: 轴 ${A}_{1}{A}_{2}$ 是实际存在的,称之为双曲线的实轴; 轴 ${B}_{1}{B}_{2}$ 只是虚拟的,称之为双曲线的虚轴. 于是 $a$ 与 $b$ 分别称为双曲线的实半轴长与虚半轴长.
到现在为止,点 ${B}_{1}\text{、}{B}_{2}$ 与虚轴 ${B}_{1}{B}_{2}$ 似乎没有多少几何意义. 但我们再往前走一步, 它们的几何意义就会渐露端倪:
图 2-R3
如图 2-R3,过点 ${A}_{1}\text{、}{A}_{2}\text{、}{B}_{1}\text{、}{B}_{2}$ 作坐标轴的平行线,这两组平行线所围成矩形的四个顶点是 $\left( {a, - b}\right)$ 、 $\left( {a, b}\right) \text{、}\left( {-a, b}\right)$ 与 $\left( {-a, - b}\right)$ ,其对角线所在直线的方程是
$$
y = \frac{b}{a}x\text{ 与 }y = - \frac{b}{a}x.
$$
⑨
这两条直线称为双曲线⑦的渐近线. 这两条直线的方程也可以分别写成
$$
\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0\text{ 与 }\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0
$$
的形式, 有时也可以把两个方程合并, 写成二次方程
$$
\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 0.
$$
这些形式也许更便于记忆.
双曲线的渐近线⑨和双曲线⑦的关系是:当 $\left| x\right|$ 逐渐增大时,双曲线无限趋近于它的渐近线, 但永远不会与渐近线相交.
教材以第一象限中的图形为例证明了这个结果, 其他象限的情况可用双曲线的对称性得到.
图 2-R4
双曲线的渐近线给双曲线的范围以另外一种描述: 双曲线位于以两条渐近线为边界的左、右平面区域内 (图 2-R4).
教材在分象限证明 “双曲线无限趋近于它的渐近线, 但永远不会与渐近线相交”时实际上已经证明了这一结果, 因为那里证明了在第一象限双曲线总在渐近线的下方, 由对称性, 在第二象限双曲线也总在渐近线的下方. 因此, 在上半平面, 双曲线总在渐近线的下方; 再由对称性, 在下半平面, 双曲线总在渐近线的上方. 双曲线的范围描述由此就可以得出.
双曲线的范围描述还可以从另一个角度看. 双曲线两支的顶点分别在以两条渐近线为边界的左、右平面区域内, 但作为连绵不断的双曲线的一支, 如果要突破区域的局限,那么必须与区域的边界相交. 但当双曲线的两条渐近线写成 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 0$ 的形式时, 这个方程和方程⑦联立得到的方程组是无解的, 这说明双曲线与它的渐近线是不相交的. 这个矛盾就说明了双曲线只能位于以两条渐近线为边界的左、右平面区域内.
与椭圆类似地定义双曲线的离心率 $e = \frac{c}{a}$ ,因为在双曲线的情形下 $c > a > 0$ ,所以双曲线的离心率 $e > 1$ .
椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度, 双曲线的离心率又有什么几何意义呢? 双曲线各参数之间有关系 ${c}^{2} - {a}^{2} = {b}^{2}$ ,于是 $\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}} = \frac{{c}^{2}}{{a}^{2}} - 1$ ,由此推得 $\frac{b}{a} = \sqrt{{e}^{2} - 1}$ ,于是双曲线渐近线的方程可以改写成
$$
y = \sqrt{{e}^{2} - 1}x\text{ 和 }y = - \sqrt{{e}^{2} - 1}x.
$$
可见离心率越大,双曲线渐近线的斜率的绝对值越大,两条渐近线在 $x$ 轴正和负方向所张的角越大, 这样双曲线的开口就越阔.
焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程、图形和性质的异同之处见下表:
| 焦点位置 | 在 $x$ 轴上 | 在 $y$ 轴上 |
| 标准方程 | $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > 0, b > 0}\right)$ | $\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{x}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > 0, b > 0}\right)$ |
| 图形 |  |  |
| 焦点 | ${F}_{1}\left( {-c,0}\right) \text{、}{F}_{2}\left( {c,0}\right)$ | ${F}_{1}\left( {0, - c}\right) \text{、}{F}_{2}\left( {0, c}\right)$ |
| 顶点 | ${A}_{1}\left( {-a,0}\right) \text{、}{A}_{2}\left( {a,0}\right)$ | ${A}_{1}\left( {0, - a}\right) \text{、}{A}_{2}\left( {0, a}\right)$ |
| 轴 | 实轴 ${A}_{1}{A}_{2}$ ,虚轴 ${B}_{1}{B}_{2}$ | 实轴 ${A}_{1}{A}_{2}$ ,虚轴 ${B}_{1}{B}_{2}$ |
| 渐近线 | $y = \frac{b}{a}x$ 和 $y = - \frac{b}{a}x$ | $x = \frac{b}{a}y$ 和 $x = - \frac{b}{a}y$ |
| 范围 | $x \leq - a$ 与 $x \geq a$ ;
位于以两条渐近线为边界的左、右平面区域内 | $y \leq - a$ 与 $y \geq a$ ;
位于以两条渐近线为边界的上、下平面区域内 |
(续表)
| 焦点位置 | $x$ 轴正半轴 | $x$ 轴负半轴 | $y$ 轴正半轴 | $y$ 轴负半轴 |
| 标准方程 | ${y}^{2} = {2px}\left( {p > 0}\right)$ | ${y}^{2} = - {2px}\left( {p > 0}\right)$ | ${x}^{2} = {2py}\left( {p > 0}\right)$ | ${x}^{2} = - {2py}\left( {p > 0}\right)$ |
| 图形 |  |  |  |  |
| 焦点 | $F\left( {\frac{p}{2},0}\right)$ | $F\left( {-\frac{p}{2},0}\right)$ | $F\left( {0,\frac{p}{2}}\right)$ | $F\left( {0, - \frac{p}{2}}\right)$ |
| 准线 | $x = - \frac{p}{2}$ | $x = \frac{p}{2}$ | $y = - \frac{p}{2}$ | $y = \frac{p}{2}$ |
| 顶点 | $O\left( {0,0}\right)$ | $O\left( {0,0}\right)$ | $O\left( {0,0}\right)$ | $O\left( {0,0}\right)$ |
| 对称轴 | $x$ 轴 | $x$ 轴 | $y$ 轴 | $y$ 轴 |
本节共有 5 道例题.
例 1 的题设关于顶点和焦点的描述确保了这个抛物线所在的位置给出的是标准方程; 由于抛物线上有第三象限的点, 抛物线的开口只能向左或向下. 但题设没有明确焦点在哪条坐标轴上, 所以分两种情况列出方程, 用待定系数法进行求解.
例 2 要证明圆与准线相切, 可以用解析几何的方法, 先求出圆的方程, 再联立方程求圆与准线的公共点个数. 这个方法是可行的. 但针对本例, 教材使用的纯几何的方法更为简单, 其关键是证明圆心到准线的距离等于半径, 先用抛物线的定义证明圆的直径 ${AB}$ 的长度等于 ${AB}$ 的两个端点到准线距离之和,又从梯形的中位线定理得知圆心到准线的距离等于 ${AB}$ 的两个端点到准线距离之和的一半,于是圆心到准线的距离等于半径.
例 3 的解题中先用点斜式写出弦所在直线的方程,与抛物线方程联立消去 $y$ 后得到一个关于 $x$ 的一元二次方程,它的两根是弦的两个端点的横坐标. 但不必解此方程, 因为从抛物线的定义可把弦长转化为弦的两个端点到准线的距离之和, 它只与两个端点横坐标之和相关, 于是, 对前述方程用韦达定理即可.
例 4 在设定直线方程时要分类讨论. 教材的解法是先分直线有斜率和无斜率两类,有斜率 (设为 $k$ ) 时用点斜式设定方程,与抛物线方程联立,消元得方程 ${k}^{2}{x}^{2} + \; 2\left( {k - 1}\right) x + 1 = 0$ . 此时再作第二次分类,分成 $k = 0$ 与 $k \neq 0$ 两类. 前者是一个一元一次方程,只有一个根,得到符合条件的直线 $y = 1$ ; 后者是一元二次方程,其判别式为零时方程只有一个根 (重根),得到符合条件的直线 $y = \frac{1}{2}x + 1$ .
对于无斜率情况,直线方程可设为 $x = a$ ,代入抛物线方程消元,得到方程 ${y}^{2} = \; {2a}$ ,当且仅当 $a = 0$ 时此方程只有一个根 (重根),得到符合条件的直线 $x = 0$ .
注意三点:(1)本例也可以一开始就分类为斜率为零、斜率非零与无斜率三种情况讨论; (2) 无斜率的情况,教材上用观察图形得到直线 $x = 0$ ,这里补充了完整的解析法; (3)这里强调了重根和非重根的情况, 与直线是否为抛物线的切线的判断有关 (见“注意事项”之 4),供教师参考.
例 5 的应用问题的解决首先要选择和建立平面直角坐标系, 其次要注意灯泡离反射镜的顶点的距离即是焦点到顶点的距离. 可以通过本例的边框让有兴趣的学生去了解更多的圆锥曲线的光学性质.
### 注意事项
1. 关于抛物线的定义. 许多学生对抛物线的直观形象很熟悉, 包括本节课程作为情境引入的那些例子. 但在有限的纸面上所建立的无限伸展图形的直观形象是很不可靠的. 例如, 仅从有限图形上看, 双曲线的一支和抛物线似乎就很难区分. 在本节之前, 数学上抛物线仅作为二次函数的图像在初中数学中出现过, 但那不是抛物线的严格定义, 无论是直观的理解还是函数的图像, 都无法得到太多抛物线的内在性质.
本节的抛物线定义对学生而言是完全陌生的内容, 它不是建立在我们对抛物线已有知识之上的, 而是另起炉灶, 从纯几何的角度进入的, 用严格的数学语言定义了数学对象——抛物线. 从这个角度说, 抛物线是一个新的数学概念, 只有导出抛物线的方程并与二次函数进行比较以后, 才能把这个新的抛物线概念与以前学过的作为二次函数图像的抛物线概念联系起来, 把抛物线相关的各种知识在更高层面上进行整合和完善, 建立起抛物线研究的基础.
抛物线定义中只有一个约束条件,即焦点 $F$ 不在准线 $l$ 上. 若 $F$ 在 $l$ 上,则轨迹是过点 $F$ 且垂直于 $l$ 的直线.
2. 坐标系的选择. 抛物线的定义不涉及坐标系, 所以这个定义包括了坐标平面上的任意位置和开口任意朝向的抛物线. 但是, 要用最简洁的方程把抛物线表示出来, 就要把坐标系选在最好的位置上. 把一条坐标轴选在抛物线的对称轴即焦点到准线的垂线上, 把原点设在焦点与垂足连线的中点 (抛物线的顶点) 上. 与椭圆、双曲线不同的是, 由于抛物线没有第二条对称轴, 选定焦点所在的坐标轴后, 还需要进一步选择焦点是在坐标轴的正半轴还是负半轴. 于是得到四种形式的抛物线标准方程.
3. 关于离心率. 抛物线理论内部没有离心率的定义. 通常讲的抛物线的离心率为 1 是在圆锥曲线统一定义(见 “课后阅读”《圆锥曲线的统一定义及其极坐标方程》)中比较得出的, 是区别椭圆、双曲线与抛物线的参数, 只有在统一讨论圆锥曲线时, 谈抛物线的离心率才是有意义的. 在仅讨论抛物线时, 一个恒为常数的参数不可能对不同抛物线的形状、性质与方程的差异产生任何影响. 因此, 不应该把离心率这个术语引入到抛物线理论内部.
4. 切线问题. 例 4 要找出过点 $M\left( {0,1}\right)$ 且与抛物线 ${y}^{2} = {2x}$ 只有一个公共点的直线,解题后找到 3 条直线: $y = 1, y = \frac{1}{2}x + 1$ 与 $x = 0$ . 一条与椭圆只有一个公共点的直线可以称为椭圆的切线, 这个例题告诉我们类似的说法对抛物线是不恰当的, 直线 $y = 1$ 与抛物线虽然只有一个公共点,但直观的理解它就不应该是抛物线的切线. 但是, 这种直观理解的依据是什么? 另外两条直线是不是抛物线的切线? 依据是什么? 问题在于教材迄今为止没有对曲线的切线给出过定义, 只是在初中课程中定义过圆的切线, 它是与圆只有一个公共点的直线, 在本章“2.2 椭圆”的例 5 结束之后把圆的切线的定义推广到椭圆: 如果一条直线和一个椭圆只有一个公共点, 这条直线称为这个椭圆的切线. 进一步的推广在抛物线这里就碰到障碍了, 因此抛物线的切线是没有定义过的. 严格地说, 目前我们没有任何依据判断上述三条直线是或不是抛物线的切线. 教材中的这一段论述的意义在于告诉学生, 不能简单地把圆或椭圆切线的定义推广到抛物线,否则就会碰到像直线 $y = 1$ 是抛物线 ${y}^{2} = {2x}$ 的切线那样有悖于数学直观的情况. 这里只说 “有悖于数学直观”, 因为要严格地判定一条直线是或不是一条曲线的切线, 只能根据切线的定义, 参看本套教材选择性必修第二册 “5.1 导数的概念及意义”之“2 导数的几何意义”.
部分教师会用 “当直线和曲线有两个重合的公共点” 来定义曲线的切线, 具体的解释是当求公共点时, 其纵坐标或横坐标是由一个二次方程的重根得到的. 用这个定义可以判断例 4 中的直线 $y = \frac{1}{2}x + 1$ 与 $x = 0$ 是抛物线 ${y}^{2} = {2x}$ 的切线,但直线 $y = 1$ 不是. 然而, 这个定义虽然比较接近切线的严格定义, 在圆锥曲线语境中也比较实用, 但是它从未在从初中到现在的课程中被使用过, 学生的理解可能也只停留在操作层面, 对其几何实质体会不深. 因此不建议进行这样的教学.
总之, 本节例 4 的教学引出的切线话题只是让学生理解圆和椭圆的切线的定义不能进一步推广就可以了.
### 教学建议
在情境引入部分,一方面可让学生回忆在初中学习二次函数图像时,通过列表、 描点、连线得到作为二次函数图像的抛物线; 在物理课程学习中对篮球从手中投出后的运动轨迹上的每一点进行力学分析, 得知轨迹可由一个二次函数刻画, 所以也是抛物线. 这些例子是学生目前对抛物线仅有的理性认识. 另一方面,教材中其他实例可以让学生对抛物线有更多的感性认识, 启发学生思考我们是否已经给抛物线这个几何对象以一个几何的定义, 是否对抛物线的性质有比较多的了解. 例如, 可以设计如下一些问题,引导学生思考: 如果把一个二次函数的图像在坐标系中旋转 ${90}^{ \circ }$ ,它还是函数的图像吗? 它还是抛物线吗? 相信学生对这两个问题都会给出正确的回答, 前者应回答“不是”,后者应回答“是”. 接下来的问题是,既然旋转以后的曲线不再是函数的图像, 如果只认可二次函数的图像是抛物线, 那么旋转以后的曲线怎么又是抛物线呢? 这就将学生引导到给抛物线一个脱离函数图像、不涉及坐标系的定义的思路, 这样的定义只能从抛物线内在的几何性质来刻画. 这启发我们另辟蹊径, 先抛开上面这些背景材料, 进行数学实验, 从几何角度抽象地定义一条叫做“抛物线”的曲线.
定义了抛物线以后, 为使抛物线的标准方程简洁, 选择合适的平面直角坐标系也是至关重要的. 过焦点 $F$ 作准线的垂线 (垂足为 $K$ ),从定义可以看出,抛物线关于这条垂线对称,所以可以把这条垂线作为一条坐标轴; 原点的最佳选择是 $F$ 和 $K$ 的连线 ${KF}$ 的中点,因为这样抛物线和坐标轴交于坐标原点 (这个交点是抛物线唯一的顶点).
这样设定坐标原点和一条坐标轴后,我们还有四种不同的选择: 焦点在 $x$ 轴上的有两种,分别把焦点置于 $x$ 轴的正半轴和负半轴上; 焦点在 $y$ 轴上的有两种,分别把焦点置于 $y$ 轴的正半轴和负半轴上. 这四种选择没有优劣之分,我们把对应的抛物线方程都称为它的标准方程. 设焦点到准线的距离 $\left| {KF}\right| = p$ ,由于约定焦点不在准线上,自然有了约束条件 $p > 0$ . 这样,针对焦点位置的四种选择,焦点坐标和准线方程分别如下:
$$
\begin{aligned} & \left( {\frac{p}{2},0}\right) , x = - \frac{p}{2};\left( {-\frac{p}{2},0}\right) , x = \frac{p}{2}; \\ & \left( {0,\frac{p}{2}}\right) , y = - \frac{p}{2};\left( {0, - \frac{p}{2}}\right) , y = \frac{p}{2}. \end{aligned}
$$
教材以第一种情况 (焦点在 $x$ 轴的正半轴上) 为例推导抛物线的标准方程. 根据定义, 列方程时要用到点到直线的距离公式 (见本册教材 1.4 节). 列出方程后的化简过程比椭圆和双曲线的情况要简单得多, 可以让学生自行完成. 得到的抛物线标准方程是
$$
{y}^{2} = {2px}\left( {p > 0}\right) .
$$
另外三种情况下抛物线的标准方程分别是
$$
{y}^{2} = - {2px}\left( {p > 0}\right) ,{x}^{2} = {2py}\left( {p > 0}\right) \text{ 与 }{x}^{2} = - {2py}\left( {p > 0}\right) .
$$
后两个方程使得这里讨论的抛物线直接联系上了初中课程所学的二次函数的图像. 要善于调动学生对已学知识的记忆, 建立起他们对抛物线的图形及其要素的认知, 这样就可以直接转入第 2 小节的学习.
抛物线性质的研究相对简单, 可以让学生在椭圆、双曲线学习经历的基础上, 针对抛物线的一类标准方程, 自主探索抛物线的范围、对称性、顶点等几何性质, 再与其他类型的标准方程进行对照.
圆锥曲线的学习到此告一段落了. 应以圆锥曲线为载体, 让学生总结一下解析几何学习的“基本套路”,即一个有序的、连贯的一般过程:“根据具体问题情境的特点, 建立平面直角坐标系; 根据几何问题和图形的特点, 用代数语言把几何问题转化为代数问题; 根据对几何问题(图形)的分析, 探索解决问题的思路; 运用代数方法得到结论; 给出代数结论合理的几何解释, 解决几何问题."这个总结有利于进入下一节的学习.
### * 2.5 曲线与方程
### 教学重点
在直线、圆锥曲线学习的基础上, 进一步理解曲线方程的概念; 以简单的几何轨迹问题为例, 学会求曲线方程的一般方法和步骤.
理解参数方程的意义, 领会建立曲线的参数方程的方法, 形成参数思想并懂得参数法的基本运用.
通过实例引入极坐标系, 理解建立极坐标系和极坐标方程的意义, 体会平面坐标系的多样性, 会在简单情形下求轨迹的极坐标方程, 能进行简单情形下的极坐标方程与直角坐标方程的互化.
### 内容分析
本节整体为选学内容, 而且不是“圆锥曲线”主题所能涵盖的. 通过本节内容的学习,旨在对解析几何有一个更多的了解. 本节内容包括三个主题: 主题一是求轨迹的方程(主要在第 1 小节), 主题二是参数方程(第 2 小节), 主题三是极坐标方程(第 3 、 4 小节).
主题一是从上一章开始的为学生逐步理解“曲线方程”概念而搭建的第四台阶, 它主要集中在第 1 小节,用稍许不同的表述方式复习了“2.1 圆”中的第 1 小节“曲线方程的概念”中给曲线方程所下的定义,并通过例题、练习和习题给出求曲线方程的实例, 归纳求轨迹方程的三个基本步骤, 促进学生对曲线方程这个抽象概念的理解. 本主题的思想贯穿本节, 在参数方程和极坐标方程的语境中也都会有它略有变形的体现.
在主题一之下有 3 道例题, 即本节的例 1 至例 3 . 这些例题除了训练学生求轨迹方程的一些技巧外, 还关注了曲线方程定义中正反两个方面 (即本小节所总结的定义曲线方程的两个条件)的验证.
例 1 用反例说明曲线方程的定义中正反两方面的条件缺一不可.
例 2 是求轨迹方程的标准做法: 按照动点的条件列一个方程, 然后验证条件 (2), 即验证以方程的解为坐标的点都在动点的轨迹上.
例 3 利用题设条件的等价变形给出了同时验证条件 (1) 和条件 (2) 的一般范式和表达方法.
“参数方程”和“极坐标方程”两个主题的内容都非常丰富,在解析几何中它们都可以独立成章. 但本套教材囿于课程标准对课程内容的选择和难度控制以及篇幅的局限,没有深入展开相关内容,而只做简单的普及性的介绍,旨在拓展学生的知识面, 让学生体会数学世界的多样性.
有时曲线的方程不是简单地表达为曲线上点的两个坐标所满足的二元方程, 而是把点的两个坐标各自表达为第三个变量(参数)的函数, 这就是曲线的参数方程. 曲线参数方程的一般形式是
$$
\left\{ \begin{array}{l} x = f\left( t\right) , \\ y = g\left( t\right) , \end{array}\right.
$$
⑩
其中参数 $t$ 有可能被限定在某个范围内变动. 严格地说,如果给定平面上的曲线 $C$ 和方程组⑩,如果对于 $t$ 的每一个允许值,由方程组⑪所确定的点 $P\left( {x, y}\right)$ 都在曲线 $C$ 上; 反之,对于曲线上任意一点 $P\left( {x, y}\right)$ ,都存在 $t$ 的某个允许值使得方程组⑩成立, 那么方程组⑩就叫做曲线 $C$ 的参数方程. 教材里的这个定义是前面已经反复出现的曲线方程定义在带参数情况下的表述.
教材以炮弹被击发后运动轨迹的推导作为例子, 自然引出以时间为参数的参数方程, 也给出了消去参数而得到普通曲线方程的过程. 但要注意, 不是所有的参数方程都能消去参数而得到普通方程.
在主题二之下有两道例题, 即本节的例 4 与例 5.
例 4 中所有去截椭圆的直线都具有 $y = x + b$ 的形式,可将 $b$ 取为参数. 把直线方程和椭圆方程联立,消去 $y$ ,得到关于 $x$ 的一元二次方程 (带参数 $b$ ),要使直线和椭圆有两个公共点,此方程的判别式必须大于零,从中求出参数 $b$ 应该满足的条件; 再回到联立方程,可以循规蹈矩地求出直线和椭圆的两个公共点的坐标 (用参数 $b$ 表示),这就是所示),进而求出以这两个公共点为端点的线段的中点坐标 (用参数 $b$ 表示),这就是所求轨迹的参数方程. 但教材没有真正求出线段端点的坐标, 而是用韦达定理给出两个端点的横坐标之和, 它的一半就是中点的横坐标, 再由直线方程算出中点的纵坐标.
把这个参数方程化成普通方程是很容易的事.
例 5 是参数方程在解题中应用的一个例子,用的是椭圆 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1$ 的参数方程
$$
\left\{ {\begin{array}{l} x = a\cos \theta , \\ y = b\sin \theta , \end{array}\;\theta \in \mathbf{R}.}\right.
$$
验证这是椭圆的参数方程(至少针对 $a = 4, b = 3$ 的情况) 是解这道题的前提,要让学生先进行这个验证. 有了上述参数方程后, 解题过程纯粹是三角函数的变形了, 其中关键的技巧是设定一个锐角 $\varphi$ 使得
$$
4\cos \theta + 3\sin \theta = 5\sin \left( {\theta + \varphi }\right) .
$$
该方法不是只针对勾股数 3、4、5 的,可以推广到一般情况:对任意正数 $a$ 、 $b$ ,可以找到锐角 $\varphi$ 使得
$$
\sin \varphi = \frac{a}{\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}},\cos \varphi = \frac{b}{\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}},
$$
于是
$$
a\cos \theta + b\sin \theta = \sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}\left( {\sin \varphi \cos \theta + \cos \varphi \sin \theta }\right) = \sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}\sin \left( {\theta + \varphi }\right) .
$$
参看必修第二册第 30-31 页上的例 10 第(3)小题.
要确定平面上的点, 常用平面直角坐标系, 但是平面直角坐标系并不是平面上唯一的坐标系. 极坐标系是另一种常见的坐标系, 而且对于某些问题的研究 (例如第 3 小节作为情境引入的等速螺线和雷达定位), 用极坐标系比使用直角坐标系更为方便.
在平面上给定一点 $O$ (称为极点)和从点 $O$ 出发的一条射线 ${Ox}$ (称为极轴),并选定单位长度和旋转角的正方向 (一般是逆时针方向), 就在平面上确定了一个极坐标系,平面上一点 $M$ 的位置可以用有序实数对 $\left( {\rho ,\theta }\right)$ (称为点的极坐标) 表示,其中 $\rho = \; {OM} \mid$ (称为极径), $\theta$ 是射线 ${Ox}$ 到射线 ${OM}$ 的旋转角 (称为极角).
必须特别注意的是,点的极坐标不是唯一确定的,有三种情况: (1) 如果 $\left( {\rho ,\theta }\right)$ 是一点的极坐标,那么 $\left( {\rho ,\theta + {2n\pi }}\right) \left( {n \in \mathbf{Z}}\right)$ 都是这一点的极坐标; (2) 我们还允许极径取负值,当 $\rho < 0$ 时,规定 $\left( {\rho ,\theta }\right)$ 所指的点是 $\left( {-\rho ,\theta + \pi }\right) ;\left( 3\right)$ 极点的极角可以取任意角.
由于点的极坐标的不唯一性,在极坐标系中曲线的方程的定义要作相应的变形:
在建立了极坐标系的平面上给定一条曲线 $C$ 和含 $\rho \text{、}\theta$ 的方程 $F\left( {\rho ,\theta }\right) = 0$ ,如果 (1)以方程 $F\left( {\rho ,\theta }\right) = 0$ 的解为极坐标的点都在曲线 $C$ 上,(2)曲线 $C$ 上每一点的所有极坐标中,至少有一个极坐标 $\left( {\rho ,\theta }\right)$ 是方程 $F\left( {\rho ,\theta }\right) = 0$ 的解,那么称方程 $F\left( {\rho ,\theta }\right) = 0$ 是曲线 $C$ 的方程. 注意: 其中并不要求一点的所有极坐标满足方程,而只要这点的一个极坐标满足方程.
很容易建立起点的极坐标与直角坐标的互化公式: 设平面上一点 $M$ 的直角坐标为 $\left( {x, y}\right)$ ,极坐标为 $\left( {\rho ,\theta }\right)$ ,则
$$
\begin{aligned} & x = \rho \cos \theta ,\;y = \rho \sin \theta ; \\ & {\rho }^{2} = {x}^{2} + {y}^{2},\;\tan \theta = \frac{y}{x}\left( {x \neq 0}\right) . \end{aligned}
$$
从极坐标求直角坐标,直接套用公式就可以了. 从直角坐标求极坐标时,通常取 $\rho = \; \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}$ ,而从 $\tan \theta$ 的值确定角 $\theta$ 时,要参考点 $M$ 所在的象限,通常取满足条件 $0 \leq \theta < {2\pi }$ 的角 $\theta$ . 此外,当 $x = 0$ 时, $\theta = \frac{\pi }{2}$ 或 $\theta = \frac{3\pi }{2}$ ,视 $y > 0$ 或 $y < 0$ 而定. 如果从直角坐标求极坐标时, 还要满足某些额外的要求 (如要满足某个方程), 则要在点的所有极坐标中寻找符合要求的坐标, 这个问题不做深究.
在主题三之下有 6 道例题, 即本节的例 6 至例 11.
例 6 直接套用定义. 注意教材解答中的“可”字,它隐含了这些点的极坐标还有别的取法.
例 7 是求曲线极坐标方程的题,这种题的一般解法是设曲线上点的极坐标为 $(\rho$ , $\theta$ ),根据题设条件可建立 $\rho$ 与 $\theta$ 的关系,即曲线的极坐标方程. 这个过程实际上保证了曲线上每一点至少有一个极坐标满足所得到的方程. 反过来要验证的是以方程的解为极坐标的点都在曲线上(要提醒学生有验证的意识,但有时可省略验证的细节). 本例关系式为 $\rho = {2a}\cos \theta$ ,当 $- \frac{\pi }{2} < \theta < \frac{\pi }{2}$ 且 $\theta \neq 0$ 时的推导依赖于平面几何的一个定理一一直径所对的圆周角是直角; $\theta = 0$ 与 $\theta = \frac{\pi }{2}$ 的情况单独验证可知此关系式也成立. 本例反过来的验证是显然的: 在从极点出发且与极轴成角 $\theta$ 的射线上只有一点 $\left( {\rho ,\theta }\right)$ 满足 $\rho = {2a}\cos \theta$ ,而所给的圆上已经有一点满足这个方程了,所以以方程 $\rho = {2a}\cos \theta$ 的解为极坐标的点只能是圆上的这一点.
例 8 也是求曲线极坐标方程的题, 要利用正弦定理建立直线的极坐标方程 $\rho \sin \left( {\varphi - \theta }\right) = a\sin \varphi$ ,不过要分为点在已知点 $M\left( {a,0}\right)$ 的上方与下方讨论,两种情况处理方式完全一样; 还要验证点 $M\left( {a,0}\right)$ 也满足这个关系.
当 $\varphi = \frac{\pi }{2}$ 时,所求直线是过点 $M\left( {a,0}\right)$ 且垂直于极轴的直线,方程变成 $\rho \cos \theta = a$ .
例 9 推导等速螺线 (或称阿基米德螺线) 的极坐标方程. 等速螺线有简单的极坐标方程, 但在直角坐标系中它的方程非常复杂, 所以研究等速螺线时极坐标系就发挥了不可替代的作用. 本例的质点 $M$ 所做的是极径上的匀速运动和极角的等角速度旋转运动的复合运动, 以时间为参数, 分别列出极径上的匀速运动和极角的等角速度旋转运动的方程,得到的是质点 $M$ 的运动轨迹在极坐标系下的参数方程,再消去时间参数就得到此运动轨迹的(普通)极坐标方程.
等速螺线在本主题开始部分是作为情境引入的, 这道例题之后应回顾情境引入的相关内容, 鼓励有兴趣的学生进一步了解等速螺线的性质和应用. 或更进一步, 可介绍一些其他螺线 (如对数螺线 $\rho = a{e}^{\theta }$ ),鼓励学有余力的学生作为拓展课题去搜集、整理、归纳资料,了解其他常见螺线以及极坐标系和极坐标方程在螺线研究中的作用, 撰写小论文.
例 10 求直角坐标系中方程 $x - y = 0$ 所表示直线的极坐标方程. 在极径不取负值的约定下,得到两个方程 $\theta = \frac{\pi }{4}$ 与 $\theta = \frac{5\pi }{4}$ ,分别表示从极点出发向相反方向的两条射线 (极点都在这两条射线上), 合起来才能把直线完全表示出来. 但要注意, 如果允许极径取负值,那么单个方程 $\theta = \frac{\pi }{4}$ 或 $\theta = \frac{5\pi }{4}$ 就可以表示整条直线了.
例 11 要求极坐标系中方程 $\rho = 4\cos \theta$ 所表示曲线的直角坐标方程. 当 $\rho \neq 0$ 时,原方程两端同时乘 $\rho$ ,得 ${\rho }^{2} = {4\rho }\cos \theta$ ,对照直角坐标与极坐标互化的公式得到 ${x}^{2} + {y}^{2} = \; {4x}$ ,即 ${\left( x - 2\right) }^{2} + {y}^{2} = 4$ ,这是以 $\left( {2,0}\right)$ 为圆心、以 2 为半径的圆. 当 $\rho = 0$ 时,极坐标方程表示的只有一个极点,在直角坐标系中只有原点 $\left( {0,0}\right)$ .
### 注意事项
1. 本节是带 * 号的教学内容, 各校是否进行教学, 可根据各校的实际情况而定.
2. 按照曲线方程的定义, 求轨迹方程时, 三个步骤缺一不可, 对于步骤 3, 验证以该方程的解为坐标的点都在给定的轨迹上, 在推导椭圆、双曲线和抛物线方程的过程中, 为避免行文的累赘, 没有给出完整推演 (教参给出了椭圆情况的反向推演). 一般求轨迹方程时, 对反方向验证的过程也常常从略. 这不意味着可以 “不必证明”, 而只是为降低难度, 略去证明过程, 但对反过来推演的验证意识不可少, 以保证所求轨迹方程符合必备的两个条件.
3. 参数方程教学中,要注重强调有时建立两个变量 $x$ 与 $y$ 之间的直接联系比较困难,甚至不可能,而有些特殊的变量却与 $x\text{、}y$ 都有相对比较直接的联系,于是可以借此参数建立两个变量之间的间接联系, 从而使学生明确学习参数方程的现实意义. 建立和使用曲线的参数方程应注意:(1)应明确知道参数方程中参数 $t$ 的变化范围(当然也可以是整个实数集 $\mathbf{R}$ ); (2) 给出参数 $t$ 的一个值后,应能唯一地求出对应 $x\text{、}y$ 的值, 因而得出唯一的对应点, 这样才可以建立曲线的参数方程以探求曲线上点的运动规律; (3)除了时间参数外, 还有许多物理量和几何度量也都可以作为参数, 要根据实际问题的背景、性质或数学问题的特点来合理地选择参数; (4)除非另行要求, 曲线的参数方程未必都要化为普通方程 (有时化为普通方程是 “不可能完成的任务”); (5)曲线参数方程的思想不仅适用于直角坐标系下的曲线方程,也适合其他坐标系(目前学生只了解极坐标系)下的曲线方程, 参看例 9 .
图 2-R6
4. 椭圆的参数方程
$$
\left\{ {\begin{array}{l} x = a\cos \theta , \\ y = b\sin \theta , \end{array}\theta \in \mathbf{R}}\right.
$$
有很多应用. 例 5 根据椭圆方程的代数特征进行换元的思路导出这个参数方程是比较自然的,但缺憾的是其中的参数 $\theta$ 的几何意义没有显现出来. 下面简单说明如何从几何角度导出参数方程. 如图 2-R6,设给定的椭圆是 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1(a > \; b > 0), M\left( {x, y}\right)$ 是椭圆上的一个点. 以坐标原点为圆心,以 $a\text{、}b$ 为半径分别做圆, 过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线 ${MP}$ 与大圆交于点 $A$ ,连接 ${OA}$ 与小圆交于点 $B$ ,再过点 $B$ 作 $y$ 轴的垂线 ${BQ}$ . 记 $\angle {POA} = \angle {QBO} = \theta$ ,则 $x = \left| {OP}\right| = \left| {OA}\right| \cos \theta = a\cos \theta ,\left| {OQ}\right| = \; \left| {OB}\right| \sin \theta = b\sin \theta$ . 这样, $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{\left| OQ\right| }^{2}}{{b}^{2}} = 1$ . 因此, $\left| {OQ}\right| = y$ ,从而直线 ${BQ}$ 与 ${AP}$ 的交点是 $M\left( {x, y}\right)$ ,而 $\theta$ 就是椭圆参数方程中的参数.
5. 在极坐标系中, 由于点的极坐标的多值性, 求曲线的极坐标方程, 不可能要求曲线上一点的所有极坐标都满足曲线的方程. 例如,对于给定曲线 $\rho = \theta$ ,点 $P\left( {\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}}\right)$ 在曲线上,但 $\left( {\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{3}}\right)$ 也是点 $P$ 的极坐标,它却不满足方程 $\rho = \theta$ . 所以在极坐标系中,确定一点 $P$ 是否在某一曲线 $C : F\left( {\rho ,\theta }\right) = 0$ 上,只需点 $P$ 的所有极坐标中有一个极坐标 $\left( {{\rho }_{0},{\theta }_{0}}\right)$ 满足方程 $F\left( {\rho ,\theta }\right) = 0$ 即可. 因此,对于极坐标方程,本节开篇所描述的曲线与方程关系必须改成第 3 小节所列的关系.
6. 对于第 4 小节所述的极坐标和直角坐标的互化公式, 请注意这一小节所给的三个前提条件:(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系横轴的正半轴重合; (3)两坐标系的长度单位相同.
7. 本节内容庞杂, 每个主题都有很大的扩充余地, 教学中把握两点: (1)先保持每个主题的相对独立性, 让学生理解体会以后再考虑与其他主题的联系. 例如, 参数方程主题的例题、习题应该服务于参数方程的教学, 让学生理解参数方程的基本思想和基本操作, 不要以多种解答或更简单的解法为由, 让参数思想被其他方法的解题所淹没. (2)每个主题的容量和难度要控制. 特别地, 本套教材与上海的“二期课改”教材在相关内容上定位不同, 要求差异很大, 在课堂教学上不要过多借用“二期课改”教材的内容.
### 教学建议
本节多主题, 每个主题应有不同的教学策略.
主题一是从上一章开始的曲线方程概念理解的第四台阶, 是这个概念的总结, 并辅以相对集中的训练. 应对这两章相关的内容有个回顾, 并强调前面关于这个概念的学习都是依附于直线和圆锥曲线的学习并为其提供基本的理论支撑而进行的. 本小节以“曲线方程”的学习为本体,例题和习题是以深化这个概念的理解而组织的,这是教与学中要加以注意的.
主题二从熟悉的炮弹运动轨迹出发,方程推导中借助时间变量 $t$ 间接地把炮弹运动中点的两个坐标联系起来, 顺理成章地给出了参数方程. 这个案例要讲得自然, 不要一开始就刻意强调“参数”和“参数方程”,要在方程组
$$
\left\{ {\begin{array}{l} x = {v}_{0}t\cos \alpha , \\ y = {v}_{0}t\sin \alpha - \frac{1}{2}g{t}^{2}, \end{array}0 \leq t \leq {t}_{1}}\right.
$$
导出后, 在方程结构的分析中提出参数和参数方程的概念, 再作推广, 给出抽象的参数方程的概念, 进而进行抽象理论的学习和进一步的实践.
这个炮弹飞行轨迹的案例与本节的例题都是可以化为普通方程的. 应向学生指出: 普通方程是相对于参数方程而言的,它反映了坐标变量 $x$ 与 $y$ 之间的直接联系; 而参数方程是通过参数反映坐标变量 $x$ 与 $y$ 之间的间接联系. 如果参数方程可以化为普通方程, 那么普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式, 在数学上是等价的表达, 但在实际使用上, 两种表达有各自的用武之地. 还要强调一下, 不是所有的参数方程都可以消去参数得到普通方程, 教材举了小虫在平面上爬行的例子, 可能会颠覆学生对函数的理解, 值得体会.
主题三的教学很重要的一点是要让学生体会极坐标的引进不仅仅是数学理论上追求多样化, 更重要的是实践和理论上的许多问题的解决必须依赖极坐标系与极坐标方程的使用. 等速螺线是一个简单且又非常典型的例子, 雷达定位也是学生能够理解的. 教材把等速螺线作为情境引入,一开始就介绍了等速螺线的基本特点,由于它把匀角速度的旋转转化为匀速直线运动, 在工程、机械上有很多应用, 如教材所介绍的心形转轮. 但是, 在直角坐标系中几乎无法研究等速螺线, 而引进极坐标系以后, 等速螺线的形式简单, 推导容易. 教学中要用好等速螺线的例子, 从一开始引进作为情境, 再到后面的例 9 回到这个例子, 圆满地解决了它的方程问题. 应以这个例子激发学生学习极坐标系的兴趣.
要让学生体会极坐标系与直角坐标系的相仿与相异之处. 相仿之处是都要用两个实数确定一个点 (这应与平面的维数为 2 联系起来), 而主要相异之处是在极坐标系中点和它的坐标不是一一对应的, 一个点有不同的极坐标. 这个相异之处使得在极坐标系中曲线方程的定义要适当调整: 一个点在曲线上只要求点的一个 (而不是所有) 极坐标满足曲线方程.
掌握点的直角坐标和极坐标的互化公式, 并能用于进行一些曲线的直角坐标方程和极坐标方程的互化. 但也要让学生理解, 并不是所有曲线的方程都能方便地进行两种坐标系下的互化, 特别是从极坐标方程转化为直角坐标方程要涉及反三角函数, 形式复杂且不实用.
参数方程和极坐标都是平面解析几何的重要内容, 是进一步学习数学的基础, 很多实际问题也需要用参数方程和极坐标来解决. 与 “二期课改”教材不同,为降低难度, 按照课程标准的要求, 这两部分内容不再独立成章, 且确定为选学内容. 在教学时,可根据学情需要灵活处理:既可以作为拓展内容,进行点拨式的介绍；也可作为课外阅读材料,供有兴趣的学生在自主学习的基础上,开展相关的小课题研究等.
#### 三、参考答案或提示
##### 2.1 圆
练习 ${2.1}\left( 1\right)$
1. ${\left( x - 3\right) }^{2} + {\left( y - 4\right) }^{2} = {53}$ .
2. ${\left( x + 1\right) }^{2} + {\left( y - 2\right) }^{2} = {13}$ .
3. ${\left( x - 5\right) }^{2} + {\left( y - 4\right) }^{2} = {25}$ .
练习 ${2.1}\left( 2\right)$
---
1. ${x}^{2} + {y}^{2} - {5x} - y + 4 = 0$ .
---
2. 当 $\lambda = - 1$ 时,表示直线 $x - y = 0$ ; 当 $\lambda \neq - 1$ 时,表示以 $\left( {\frac{\lambda }{1 + \lambda },\frac{1}{1 + \lambda }}\right)$ 为圆心,以 $\frac{\sqrt{1 + {\lambda }^{2}}}{\left| 1 + \lambda \right| }$ 为半径的圆.
3. ${x}^{2} + {y}^{2} - \frac{25}{2}x + {25} = 0$ .
练习 ${2.1}\left( 3\right)$
1. (1) ${3x} - {4y} + {25} = 0$ . (2) $x = 2$ 或 ${3x} - {4y} + {10} = 0$
2. (1) $- 2 < a < 2$ . (2) $a = 2$ 或 $a = - 2$ . (3) $a > 2$ 或 $a < - 2$ .
3. $x + y - 2 = 0$ 或 ${7x} + {17y} + {26} = 0$ .
练习 ${2.1}\left( 4\right)$
1. 当 $m = \frac{7}{2}$ 时内切,当 $\frac{7}{6} < m < \frac{7}{2}$ 时相交.
2. ${\left( x - \frac{24}{5}\right) }^{2} + {\left( y + \frac{18}{5}\right) }^{2} = 1$ .
3. $\sqrt{10}$ .
习题 2.1
A 组
1. (1) ${\left( x + \frac{3}{2}\right) }^{2} + {\left( y - 3\right) }^{2} = 3$ . (2) ${\left( x - \sqrt{2}\right) }^{2} + {\left( y - 1\right) }^{2} = 6$ . (3) $(x - \; 3{)}^{2} + {\left( y - 1\right) }^{2} = 5$ 或 ${\left( x - 3\right) }^{2} + {\left( y + 1\right) }^{2} = 5$ .
2. (1) ${a}^{2} + {b}^{2} = {r}^{2}$ . (2) $b = 0$ . (3) $\left| b\right| = r$ . (4) $\left| a\right| = \left| b\right| = r$ .
3. ${\left( x - 4\right) }^{2} + {\left( y - 5\right) }^{2} = {10}$ .
4. $a = - 1$ .
5. $x - y + 1 = 0$ .
6. ${\left( x - \frac{a}{2}\right) }^{2} + {\left( y - \frac{b}{2}\right) }^{2} = \frac{1}{4}\left( {{a}^{2} + {b}^{2}}\right)$ .
7. 相切.
8. ${3x} - {2y} - 3 = 0$ .
9. ${\left( x - \frac{12}{5}\right) }^{2} + {\left( y + \frac{16}{5}\right) }^{2} = 1$ .
10. ${\left( x + 2\right) }^{2} + {\left( y + 3\right) }^{2} = {13}$ .
11. ${3.86}\mathrm{\;m}$ .
B 组
1. ${2x} + {3y} - {13} = 0$ .
2. ${\left( x - 1\right) }^{2} + {\left( y + 2\right) }^{2} = 2$ 或 ${\left( x - 9\right) }^{2} + {\left( y + {18}\right) }^{2} = {338}$ .
3. $2\sqrt{7}$ .
图 2-R7
4. ${\left( x - 4\right) }^{2} + {\left( y - 3\right) }^{2} = 8$ .
5. ${x}^{2} + {y}^{2} - y = 0$ .
6. $x = 5$ 或 $y = - 5$ .
7. $\lbrack 1,\sqrt{2})$ .
8. $3\sqrt{2}$ .
9. $\left\lbrack {-\sqrt{3},\sqrt{3}}\right\rbrack$ .
10. (1)87 m (2)建立如图 2-R7 所示的平面直角坐标系,则所求的函数表
达式为 $y = \left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{{72x} - {x}^{2}}, & 0 \leq x < {36}, \\ {36}, & {36} \leq x \leq {236} - {36\pi }, \\ \sqrt{{1296} - {\left( x - {236} + {36}\pi \right) }^{2}}, & {236} - {36\pi } < x < {272} - {36\pi }. \end{array}\right.$
##### 2.2 椭圆
练习 ${2.2}\left( 1\right)$
1. (1) $\frac{{x}^{2}}{25} + \frac{{y}^{2}}{16} = 1$ . (2) $\frac{{x}^{2}}{36} + \frac{{y}^{2}}{32} = 1$ . (3) $y = 0\left( {-4 \leq x \leq 4}\right)$ .
2. (1) $\frac{{y}^{2}}{16} + {x}^{2} = 1$ . (2) $\frac{{x}^{2}}{5} + {y}^{2} = 1$ 或 $\frac{{y}^{2}}{9} + \frac{{x}^{2}}{5} = 1$ .
练习 ${2.2}\left( 2\right)$
1.(1)长轴长 4,短轴长 $2\sqrt{3}$ ,焦点坐标为 $\left( {-1,0}\right)$ 、 $\left( {1,0}\right)$ ,顶点坐标为 $\left( {2,0}\right)$ 、 $\left( {-2,0}\right) \text{、}\left( {0, - \sqrt{3}}\right) \text{、}\left( {0,\sqrt{3}}\right) .$
(2)长轴长 10,短轴长 4,焦点坐标为 $\left( {0, - \sqrt{21}}\right)$ 、 $\left( {0,\sqrt{21}}\right)$ ,顶点坐标为 $( - 2$ , $0)\text{、}\left( {2,0}\right) \text{、}\left( {0, - 5}\right) \text{、}\left( {0,5}\right)$ .
2.(1)第 2 个椭圆更接近于圆. (2)第 2 个椭圆更接近于圆.
3. $\frac{{x}^{2}}{3} + {y}^{2} = 1$ .
练习 ${2.2}\left( 3\right)$
1.10,2.
2.40.
3. $\left( {-\infty , - \frac{1}{2}}\right)$ 或 $\left( {\frac{1}{2}, + \infty }\right)$ .
习题 2.2
A 组
1. (0,16).
2. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
3. $\frac{{x}^{2}}{12} + \frac{{y}^{2}}{3} = 1$ .
4. $b = 2$ 或 $b = - 2$ .
5. $\lbrack 1,5) \cup \left( {5, + \infty }\right)$ .
B 组
1. (1) $3\sqrt{3}$ . (2) ${90}^{ \circ }$ .
2. $\frac{{x}^{2}}{{\left( {5.9} \times {10}^{8}\right) }^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{\left( {5.8} \times {10}^{8}\right) }^{2}} = 1$ .
##### 2.3 双曲线
练习 ${2.3}\left( 1\right)$
1. (1) $y = 0\left( {x \geq 5}\right)$ . (2) $\frac{{x}^{2}}{16} - \frac{{y}^{2}}{9} = 1\left( {x \geq 4}\right)$ . (3) $\frac{{x}^{2}}{9} - \frac{{y}^{2}}{16} = 1$ .
2. 16.
3. 9.
练习 ${2.3}\left( 2\right)$
1.(1)实半轴长 4,虚半轴长 3,离心率为 $\frac{5}{4}$ ,焦点坐标为 $\left( {-5,0}\right)$ 、 $\left( {5,0}\right)$ ,顶点坐标为 $\left( {-4,0}\right) \text{、}\left( {4,0}\right)$ ,渐近线方程为 $y = \frac{3}{4}x$ 和 $y = - \frac{3}{4}x$ .
(2)实半轴长 2,虚半轴长 $\sqrt{3}$ ,离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ,焦点坐标为 $\left( {0, - \sqrt{7}}\right)$ 、 $\left( {0,\sqrt{7}}\right)$ , 顶点坐标为 $\left( {0, - 2}\right) \text{、}\left( {0,2}\right)$ ,渐近线方程为 $y = \frac{2\sqrt{3}}{3}x$ 和 $y = - \frac{2\sqrt{3}}{3}x$ .
2. A.
3. 是.
练习 2.3(3)
1. (1) $\frac{{x}^{2}}{25} - \frac{{y}^{2}}{3} = 1$ . (2) $\frac{{x}^{2}}{16} - \frac{{y}^{2}}{9} = 1$ .
2. $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = \lambda \left( {\lambda > 0}\right)$ .
3. 提示: 叙述双曲线的对称性、顶点、范围、离心率、渐近线五个性质.
习题 2.3
A 组
1. 22.
2. ${x}^{2} - \frac{{y}^{2}}{2} = 1$ 或 ${y}^{2} - \frac{{x}^{2}}{2} = 1$ .
3. $\frac{{x}^{2}}{16} - \frac{{y}^{2}}{9} = 1$ 或 $\frac{{y}^{2}}{16} - \frac{{x}^{2}}{9} = 1$ .
3. $\left( {-\infty , - 2}\right)$ .
4. $2{x}^{2} - {y}^{2} = 1$ .
B 组
1. $\frac{{y}^{2}}{16} - \frac{{x}^{2}}{9} = 1$ .
2. $\frac{{x}^{2}}{9} - \frac{{y}^{2}}{16} = 1$ .
3. 北偏东 ${30}^{ \circ }$ .
##### 2.4 抛物线
练习 ${2.4}\left( 1\right)$
1. 略.
2. (1) ${y}^{2} = - {8x}$ . (2) ${x}^{2} = - {4y}$ .
3. $\left( {8,4\sqrt{2}}\right)$ 或 $\left( {8, - 4\sqrt{2}}\right)$ .
练习 ${2.4}\left( 2\right)$
1. B.
2. $\frac{19}{20}$ .
3. $\left( {\frac{1}{4},0}\right) , x = - \frac{1}{4}$ .
习题 2.4
A 组
1. $\left( {\frac{a}{4},0}\right) , x = - \frac{a}{4}$ .
2. 2 .
3. ${x}^{2} = - {12y}$ .
4. $k = 0$ 或 $k = - \frac{1}{2}$ .
5. 以隧道顶部为坐标原点,过顶点的铅垂线所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系,有 ${x}^{2} = - {5y}$ .
B 组
1. ${y}^{2} = {4x}$ 或 $y = 0\left( {x < 0}\right)$ .
2. 证明略.
3. 证明略.
### * 2.5 曲线与方程
练习 2.5(1)
1. (1)否. (2)否. (3)是.
2. $\frac{{x}^{2}}{25} + \frac{{y}^{2}}{9} = 1\left( {y \neq 0}\right)$ .
3. $y = 2{x}^{2} - {12x} + \frac{39}{2}$ .
练习 ${2.5}\left( 2\right)$
1. 双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1$ .
2. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + \frac{1}{2}\cos \theta , \\ y = \frac{1}{2}\sin \theta \end{array}\right. \left( {\theta \in \mathbf{R}}\right)$ .
3. $\left\{ {\begin{array}{l} x = 1 + {9t}, \\ y = 1 + {12t} \end{array}\left( {t \geq 0}\right) }\right.$ .
练习 ${2.5}\left( 3\right)$
1. (1) $A\left( {3,\frac{\pi }{2}}\right)$ 、 $B\left( {4,\frac{5\pi }{6}}\right)$ 、 $C\left( {5,\frac{\pi }{12}}\right)$ 、 $D\left( {\frac{7}{2},\frac{7\pi }{6}}\right)$ 、 $E\left( {1,\frac{7\pi }{4}}\right)$ .
(2) $A\left( {-3,\frac{3\pi }{2}}\right)$ 、 $B\left( {-4,\frac{11\pi }{6}}\right)$ 、 $C\left( {-5,\frac{13\pi }{12}}\right)$ 、 $D\left( {-\frac{7}{2},\frac{\pi }{6}}\right)$ 、 $E\left( {-1,\frac{3\pi }{4}}\right)$ .
2. $A$ 和 $B$ 关于极轴对称, $A$ 和 $C$ 关于极点对称.
练习 ${2.5}\left( 4\right)$
1. $\rho \cos \theta = a\left( {-\frac{\pi }{2} < \theta < \frac{\pi }{2}}\right)$ .
2. (1) $\rho = a\left( {\theta \in \mathbf{R}}\right)$ . (2) $\rho = {2a}\sin \theta \left( {\theta \in \mathbf{R}}\right)$ .
3. (1)
(2)
练习 2.5(5)
1. (1) $\left( {\sqrt{3},1}\right)$ . (2) $\left( {2,\frac{2\pi }{3}}\right)$ .
2. $\rho = {2a}\sin \theta$ .
3. ${x}^{2} + {y}^{2} = x + y$ .
习题 2.5
A 组
1. 略.
2. 证明略.
3. $k = 3$ 或 $k = - 2$ .
4. ${x}^{2} + {y}^{2} = 4$ .
5. ${x}^{2} + {y}^{2} = {16}$ .
6. 证明略.
7. ${\left( 3y - 1\right) }^{2} = {6x} - 2$ .
8. $\rho \sin \theta = 2\left( {0 < \theta < \pi }\right)$ .
9. $\sqrt{2}$ .
B 组
1. 略.
2. ${3x} - y + 1 = 0$ .
3. 证明略.
4. $\frac{2\sqrt{10} + 2\sqrt{5}}{5}$ .
5. 轨迹方程为 $\left( {1 - {k}^{2}}\right) {x}^{2} + {y}^{2} + 4\left( {4{k}^{2} - 1}\right) x = {64}{k}^{2} - 4$ .
当 $k = 0$ 时,表示一个点 $\left( {2,0}\right)$ ; 当 $0 < k < 1$ 时,表示椭圆; 当 $k = 1$ 时,表示抛物线; 当 $k > 1$ 时,表示双曲线.
6. $\left( {-\frac{2\sqrt{13}}{13},\frac{2\sqrt{13}}{13}}\right)$ .
7. $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .
### 复习题
A 组
1.(1)错误. (2)正确. (3)错误.
2. 相切.
3.(1)错误. (2)正确.
4. $a = 1$ 或 $a = - 1$ .
5. $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .
6. ${\left( x - 3\sqrt{5}\right) }^{2} + {y}^{2} = 9$ .
7. $\frac{3}{2}$ .
8. ${x}^{2} + 9{y}^{2} = 4$ .
9. 证明略.
10. (1) $x - y + \sqrt{2} = 0$ 或 $x - y - \sqrt{2} = 0$ . (2) $x - y + \sqrt{2} = 0$ 或 $x + y - \sqrt{2} = 0$ .
11. C.
12. ${x}^{2} + \frac{4{y}^{2}}{3} = 1$ .
B 组
1. ${\left( x - \frac{1}{2}\right) }^{2} + {y}^{2} = \frac{1}{4}\left( {x \neq 0}\right)$ .
2. 9.
3. 3 .
4. 0 或 $- \frac{1}{2}$ .
5. $k < 0$ 时,表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线; 当 $k = 0$ ,表示两条平行直线; 当 $0 < \; k < 1$ 时,表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆; 当 $k = 1$ 时,表示圆; 当 $k > 1$ 时,表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆.
6. 当 $\frac{a}{b} \geq \sqrt{2}$ 时,弦 ${BP}$ 的最大值为 $\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2} - {b}^{2}}}$ ; 当 $1 < \frac{a}{b} < \sqrt{2}$ 时,弦 ${BP}$ 的最大值为 ${2b}$ .
7.2.
8. ${4.6h},{5h}$ .
### 拓展与思考
1. ${y}^{2} = k\left( {{x}^{2} - {36}}\right)$ . 当 $k = 0$ ,表示直线 $y = 0$ ; 当 $k > 0$ 时,表示焦点在 $x$ 轴上的双曲线; 当 $- 1 < k < 0$ 时,表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆; 当 $k = - 1$ 时,表示圆; 当 $k < - 1$ 时,表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆.
2. 提示: $0 < \left| r\right| \leq 3$ 时,为整个双曲线; 当 $\left| r\right| > 5$ 时,为椭圆.
3. 焦点坐标为 $\left( {\sqrt{2},\sqrt{2}}\right)$ 和 $\left( {-\sqrt{2}, - \sqrt{2}}\right)$ ; 准线方程为: $x + y - \sqrt{2} = 0$ 和 $x + \; y + \sqrt{2} = 0.$
4. 略.
#### 四、相关阅读材料
### 参考文献
[1] 阿波罗尼奥斯. 圆锥曲线论(卷 I - 卷 IV) 第 2 版[M]. 朱恩宽,等译. 西安:陕西科学技术出版社,2018.
[2] 阿波罗尼奥斯. 圆锥曲线论(卷 V-卷 VII) [M]. 朱恩宽,等译. 西安:陕西科学技术出版社,2014.
[3] 刘连璞. 平面解析几何方法与研究第 1 卷[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社,2015.
[4] 刘连璞. 平面解析几何方法与研究第 2 卷[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社,2015.
[5] 刘连璞. 平面解析几何方法与研究第 3 卷[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社,2015.
### 附 录
### 二次曲线的分类
学了椭圆 (包括圆)、双曲线和抛物线之后, 对二次曲线似乎有盲人摸象之感, 难以获得全貌. 事实上,这三类曲线已经是二次曲线的主体了,其余的无非是一些退化的曲线或者虚曲线. 为让教师能接触更高的观点, 更好地把握本章的内容, 特引用谷超豪主编的《数学词典》(上海辞书出版社 1992 年版)第 177 页的内容,但把原书表格中的最后一列“化简后的方程”改为“标准方程”,没有强调化简后的方程与二次方程的不变量、半不变量的关系. 这些内容仅供教师参考,不能作为教学内容.
在平面直角坐标系中, $x\text{、}y$ 的二次方程
$$
A{x}^{2} + {Bxy} + C{y}^{2} + {Dx} + {Ey} + F = 0
$$
(其中 ${A}^{2} + {B}^{2} + {C}^{2} \neq 0$ ) 所表示的曲线称为二次曲线. 利用二次曲线平移、旋转的不变量 $H = A + C,\Delta = {B}^{2} - {4AC}$ ,
$$
\Theta = \left| \begin{matrix} {2A} & B & D \\ B & {2C} & E \\ D & E & {2F} \end{matrix}\right|
$$
和半不变量 $K = {D}^{2} + {E}^{2} - {4AF} - {4CF}$ ,可对二次曲线分类如下表: